课题

钉子板上的多边形

教时

日期

月 日

一、教学目标：

1、使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中，发现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子数，以及多边形内部钉子数的关系，会用含有字母的式子表示发现的规律。

2、使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意识，积累数学活动经验。

重 点

与

难 点

教学重点：

发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律

教学难点：

类比推导出一般规律

教 学 过 程

活动板块

活动内容与呈现方式

学生活动方式

交流方式

常规性积累

在钉子板上围一个多边形

核心过程

揭示课题

钉子板上可以围出大小、形状不同的图形，在这些用钉子板围出的图形里还隐藏着很有趣的数学规律，今天这节课就让我们一起来用钉子板围出一些多边形，找一找隐藏在里面的规律。（板书课题）

引导尝试，初步感知。

1.出示下图，引导学生观察。

引导：请大家观察下面的多边形，按下面要求数一数、算一算，在教材第108页的表格里填一填。

2.观察比较，反思质疑。

出示：

引导：是不是所有的钉子板上多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢？

提问：这是为什么呢？回过去再看第一行的多边形，它们还有什么共同的地方吗？找找看。

第二行和它们有什么不同？

学生交流，完成下面表格。

（1）数一数或算一算每个多边形的面积各是多少平方厘米；

（2）数一数每个多边形上的钉子各有多少枚；

（3）想一想多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系。

在第二行中选择一个多边形数一数，看看是不是也有这样的关系。

观察图形和表格，你有什么发现？

交流：你发现这里的多边形面积和边上的钉子数有什么关系？

如果用S表示多边形的面积，用n表示多边形上的钉子数，那上面发现的这个规律可以怎样表示？板书：S=n÷2

交流：你数的第二行哪一个，结果怎样？（结合交流对应板书面积和钉子数：6 10 5.5 9 6.5 9 7 8）

追问：现在多边形的面积和边上钉子数还有上面发现的规律吗？

小结：第一行符合规律的多边形内的钉子数都为1，第二行多边形内部的钉子数都不是1。这说明多边形的面积不仅和多边形边上的钉子数有关，还与多边形内的钉子数有关。

说明：如果用a表示多边形内的钉子数，那当a=1时，S=n÷2。（在上面得出的关系式前补充板书：a=1）

合作交流，深入探究

1.提出问题，引发思考。

引导：如果多边形内有2枚钉子，多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？

小组合作，探究规律。

引导：现在请你们四人小组合作，按照下面的办法研究多边形的面积。

出示活动要求：

（1）每人画一个内部有2枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出它的面积；

（2）每人把获得的数据在小组内交流，并记录在课本第109页的表格里；

（3）观察表格中的数据，小组讨论交流：你有什么发现？

学生操作、填表、比较、思考。

引导：我们刚才已经知道，这里的面积不等于n÷2，但和n÷2有点什么关系吗？同桌互相讨论，看看有什么发现。

提问：通过数据比较，你有什么发现？

小结：通过这里的多边形的比较，可以发现，当多边形内部钉子数a=2时，面积S=n÷2+1。（板书：a=2 S=n÷2+1）

追问：检查你画的内部有2个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。

指出：现在没有学生提出反例，所以的都符合这里的规律。从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有2个钉子时，也就是a=2时，S=n÷2+1。

大胆猜想，验证规律。

1.引发学生猜想。

提问：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n÷2；a=2时，S=n÷2+1。你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？先想一想，再告诉大家你的猜想。

2.拓展延伸，揭示规律。

引导学生观察关系式：

a=1 S=n÷2

a=2 S=n÷2+1

a=3 S=n÷2+2

引导：你觉得如果a=4，会有什么规律？a=5呢？

那你能任选一个a等于几，画一画、算一算来验证吗？自己画图验证。

交流：你猜想的规律是怎样的？（板书：a=3 S=n÷2+2 ？）怎样想的？

画图举例，验证猜想。

学生在点子图上画出图形，验证上面的猜想。

交流：你画出的是怎样的图形，验证的结果有什么结论？（指名学生呈现图形验证结论）

指名学生交流，呈现不同例子的图形用数据验证，并板书关系式。

学生验证：当a=0的时候，也符合这样的规律吗？我们找几个图形来看一看。呈现几个相应的图形数一数，发现：

当a=0时，可以看作S=n÷2+0-1，符合规律；

确认：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n÷2+2 。（擦除上面板书中的“？”）

追问：现在我们又有什么发现？

提问：你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？

指出：如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2，再加上中间的钉子数a，然后减1。（板书：S=n÷2+a-1）

回顾总结

拓展延伸

1、小结：今天我们一起研究了钉子板上的多边形，发现多边形面积的多少和它边上的钉子数有关，和它里面的钉子数也有关。

2、早在100多年前，数学家乔治·皮克就研究出了这个规律，为了纪念乔治·皮克，我们把这一规律叫做“皮克定理”。

这里有一个多边形，你能算出它的面积吗？

师：其实在我们国家也有一个伟大的数学在研究这个规律，他就是闵嗣鹤(出示闵嗣鹤的著作《格点和面积》）

师：闵嗣鹤这个人大家可能不太了解，华罗庚大家认识吗？华罗庚所写的论文就是闵嗣鹤帮他审阅的。以后有兴趣、可以去阅读《格点和面积》。

板书设计

钉子板上的多边形

当a=1时，S=n÷2

当a=2时，S=n÷2＋1

当a=3时，S=n÷2＋2

……

当a=m时，s=n÷2＋m－1